TUGAS STATISTIKA "DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUST t, DISTRIBUSI
F"
DISTRIBUSI PELUANG
A.
Distribusi Binomial
Diperhatikan
sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A (ditulisi
),
dimana P (A) = = peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan
percobaan sebanyak N kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan
peristiwa A dan sisannya (N-X) peristiwa.
Jika+ P(A) untuk tiap percobaan, 1- =
P(A),
maka
peluang terjadinya peristiwa a sebanyak X =x kali diantara N, dihitung oleh:
P(x) = P(X=x) = ( x (1-∏) n-x
Dengan N! + 1x2x3x….. x(N-1)xN dan 0! = 1 (N! dibaca N
faktorial) rumus tersebut merupakan koefisienbinomial
Rumus : = N
σ =
dimana parameter ditinjau dari peristiwa A.
contoh
:
1. Peluang
untuk mendapatkan 6 muka A, ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang
logam homogin sebanyak 10 kali adalah
P (x=7) = (1/2)4
=
0,2050
2. Pada
pelemparan sebuah mata uang logam yang homogen sebanyak 5 kali, ditentukan X =
banyaknya G (gambar) yang muncul. Carilah P (X≤2)
Jawab : =1/2, X = 5
P(X≤2) = P(X=0) = P(X=1) + P(X=2)
P9X=0) = (1/2) 0(1/2)5 =
0,0312
P(X=1) = (1/2) 1(1/2)4
= 0,1562
P(X=2) =
(1/2) 2 (1/2)5
= 0,3125
P(X≤2) = 0,312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,4993
B.
Distribusi Poisson
Pada
dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan dari distribusi binomial, dengan N cukup besar dan π cukup
kecil
Rumus : P(X) = P (X=x) =
Dimana :
x = 0, 2,
………. = banyaknya sukses
e. =
2,7183
λ = bilangan
tetap = n π
n =
banyaknya ulangan yang dilakukan
distribusi poisson mempunyai parameter :
μ = λ
σ =
contoh :
Jika peluang pengunjung yang pingsan saat melihat parade
akibat terik matahari adalah 0,005 maka hitunglah peluang bahwa dari 3000
pengunjung parade tersebut, trdapat 18 orang yang pingsan akibat terik
matahari.
Jawab :
π = 0,005 n = 3000
λ =
n π = 3000 (0,005) = 15
x = 18
P(X) = P (X=x)
C. Distribusi
Normal
Distribusi
normal merupakan distribusi dengan variabel acak kentinu dan merupakan
distribusi yang sangat dominan. Distribusi normal sering
disebut sebagai distribusi Gauss.
Jika variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada
X = x dengan persamaan : F(x) =
Dimana :
π = 3,1416
e = 2,7183
μ = parameter merupakan rata-rata untuk distribusi
σ= parameter merupakan simpangan baku untuk distribusi
nilai x : - , maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.
Apabila = 1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.
Fungsi identitasnya :
F(z) =
Untuk Z ; - < Z <
Mengubah distribusi normal umum, menjadi distribusi
normal standar dapat ditempuh dengan menggunakan transforamsi:
Z = ;
Dimana μ = rata-rata
dan σ = deviasi standar
Untuk m = 0
dan s = 1
Kurva normal mempunyai sifat-sifat antara lain:
1.
bentuknya
simetrik terhadap sumbu x = m
2.
grafiknya
selalu ada di atas sumbu datar x
3.
grafiknya
mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = m - 3skekanan
sampai m + 3
4.
mempunyai satu
modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = m sebesar
5.
luas
daerah grafik selalu
sama dengan satu unit persegi hubungan sifat yang kelima dengan rumus:
f (x) = ,
adlah . Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni
P (a < X < b), digunakan rumus:
P (a < X
< b) = dk, untuk
penggunaan rumus ini tak perlu dipakai, karena telah ada daftar yang
dimaksudkan.
Setelah kita
memiliki distribusi normal baku yang di dapat dari distribusi normal umum
dengan transformasi, maka daftar distribusi normal baku dapag digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi
normal baku dapat dicari. Caranya adalah:
1.
hitung Z hingga dua decimal
2.
gambarkan kurvanya
3.
letakkan harga
Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.
4.
luas yang
tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak
dititik nol.
5.
dalam daftar,
cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan
desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
6.
dari Z di
kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah, maka didapat
bilangan yang merupakan luas yang dicari.
Bilangan yang di dapat ditulis dalam bentuk 0, xxxx
(empat desimal) karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap m =
0, maka luas dari garis tetak pada titik nol kekiri ataupun kekanan adalah 0,5.
Contoh:
Penggunaan daftar normal baku.
Akan
dicari luas daerah:
1.
antara z = 0 dan z = 2,26
Di baah Z pada
kolom kiri cari 2,2 dan di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu
ke kanan dan dari 6 menurut didapat 4881 luas daerah yang dicari
0,4881
2.
antara z = 0 dan z =
-2,26
Di bawah Z
pada kolom kiri cari 2,2 dan diatas sekali angka 6. dari 2,2 maju ke kanan dan
dari 6 menurun di dapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881
3.
antara z =
-1,50 dan z = 1,26 dari grafik terlihat kita perlu mencari luas daerah dua
kali, lalu dijumlahkan dengan cara seperti no. 1
untuk z = 1,5
didapat 0,4332
untuk
z = 1,26 didapat 0,3962
jumlah = luas
yang dicari = 0,8294
4.
Berat bayi
yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram.Jika berat bayi berdistribusi
normal, maka tentukan:
a.
ada berapa
bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?
b.
Ada berapa
bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua ada 10.0000 bayi?
c.
Berapa bayi
yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 40000 gram, jika semuanya
ada 10.000 bayi
d.
Ada berapa
bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada5000 bayi?
Penyelesaian:
Dengan X =
berat bayi dalam gram, m =rerata berat bayi dalam gram, m = 3750
gram, s = 325 gram, maka:
a.
untuk X = 4500
Z =
gram, pada
grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31 luasnya 0,4896 , luas daerah lebih
besar 2,31 luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. jika ada 1.04% dari bayi
yang beratnya lebih dari 4500 gram.
b.
dengan X =
3500 dan 4500 gram di dapat Z = dan Z = 2,31
Luas daerah
yang dibatasi anara --0,77 sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794 dengan 0,4896
= 0,7690. Banyaknya bayi yang beratnya antara 3500 gram sampai 4500 gram adalah
= 0,7690 x 10000 =7690.
c.
Bayi yang
beratnya lebih kecil atua sama dengan 4000 gram, maka beratnya harus lebih
kecil dari 4000,0 gram Z = peluang bayi yang lebih kecil atau sama dengan
4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206 banyaknya bayi = (0,2206) x 10,000
= 2,206. Berat 4250 gram berarti berat antara 4249,5 gram
dan 4250,5 gram.
Jadi untuk X =
4249,5 dan X = 4250,5 didapat:
Z = Z =
Maka luas
daerahnya adalah 0,4382 – 04370 = 0,0012.
Banyaknya bayi = 0.0012
x 5000 = 6
D. Distribusi
Student (t)
Distribusi
dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal, ialah
distribusi student atau distribusi t.
Rumus : t =
Dimana:
t =
Rata-rata sampel
m =
rata-rata populasi
s = simpang baku, populasi
Maka
di dapat distribusi harga t dengan persamaan:
f (t) =
dimana:
f = merupakan
bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian hingga luas daerah di
bawah kurwa sama dengan satu unit.
(n – 1) = m = derajat
kebebasan, biasa disingkat dengan dk
Bentuk grafiknya seperti distribusi normal baku simetrik
terhadap t = 0, sehingga sempitas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga n
yang besar, biasanya > 30, distribusi t mendekati
distribusi normal.
Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah
disusun dalam daftar. Distribusi ini ditemukan oleh Gosse t yang menggunakan
nama samaran “student”.
Contoh:
Untuk n = 20, tentukan t supaya luas daerah antara t
dengan t = 0,9.
Dari grafik dapat dilihat bahwa luas luas ujung kiri dan
luas ujung kanan = 1-0,90 = 0,10
Kedua ujung luasnya sama, mulai dari t kekanan luasnya =
0,05, mulai dari t kekiri luasnya = 1-0,05 = 0,95.
Jadi untuk m= n-1 = 20 – 1
= 19 dan P = 0,95 didapat harga t = 1,73
Jadi antara t = -1,73 dan t = 1,73 luasnya = 0,90
E. Distribusi
Chi Kuadrat (χ2)
Distribusi
chi kuadrat merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu.Simbul yang dipakai ialah χ2.
apabila
besar sampel n dan varians s2, maka : χ2 = dan
didapat distribusi sampling χ2 untuk
memudahkan menulis, dan harga u > 0, v = (n-1) = derajat kebebasam K
bilangan tetap yang bergantung pada v, sedemikian sehingga luas daeah di bawah
kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183. Grafik distribusi x2 umumnya
merupakan kurva positif yaitu miring kekanan, makin berkurang kemiringannya
jika v makin besar.
Contoh: Gambar di bawah distribusi x2 dengan
n = 10.
a.
Luas daerah
yang diarsir sebalah kanak = 0,025, hitung X12
b.
Luas daerah
yang diarsir sebelah kiri = 0,05, hitung X12
Jawab:
a.
v = (n-1) = 10
– 1 = 9; P = 1 – 0,25 = 0,975, dicari pada tabel di dapat X21 =
19,0
b.
v = (n – 1) = 10
– 1 = 9; P = 1 – 0,05 = 0,95 dicari pada tabel didapat X12
Catatan :
Karena
distribusi X22 tidak simetrik, luas ujung-ujung
daerah yang diarsir bila diketahui jumlahnya, maka luas daerah ujung kiri yang
diarsir dan luas daerah ujung kanan harganya dapat berbeda-beda.
Dalam beberapa
hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan yang
diarsir sama dengan luas daerah ujung kiri yang diarsir.
F. Distribusi
F
Jika
S12 dan S22 adalah
varian-varians dari sampel-sampel acak independen dengan besar berturut-turut n1 dan
n2 yang berasal dari populasi-populasi normal dengan
varians-varians s12 dan s22,
maka distribusi sampling harga S12/ S22 berbentuk
distribusi F dengan derajat kebebasan: dk1 = v1 =
n1 – 1; dk2; v2 = n2 –
1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.
Fungsi
densitasnya mempunyai persamaan:
f (F) = K
dengan
variabel acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya
bergantung pada v1 dan v2, sedemikian hingga luas di
bawah kurva sama dengan satu.Kurva distribusi F tidak simetrik
dan umumnya sedikit positif.
Tabel
distribusi F terdapat pada lampiran, daftar tersebut berisikan nilai-nilai F
untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v1 dan v2.
Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = v1 ada
pada baris paling atas dan dk = v2pada kolom paling kiri untuk stiap
pasang dk v1 dan v2.
daerah
ini (0,01 atau 0,05). Untuk tiap dk = v2, daftar terdiri atas dua
baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan yang bawah untuk P = 0,01.
Daftar
berisikan harga-harga F dengan kedua luas V
Contoh:
Untuk
pasangan dk, v1 = 8 dan v2 = 29 ditulis juga (v1,
v2) = 8,29), maka untuk P = 0,5 didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P =
0,01.
Meskipun
daftar yang diberikan hanya untuk peluang P = 0,01 dan P = 0,05, tetapi
sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95
digunakan hubungan:
F(1-P) (v1, v2) =
Dalam rumus di atas perhatikan antara P dan 1-P dan
pertukaran antara dk (v1, v2) menjadi (v1, v2)
Contoh:
Telah didapat F0,05(8,29) = 2,28
Maka F0,095 (8,29) =
Telah didapat F0,01 (29,8) = 3,20
Maka
F0,099(29,8) =
Sumber
:
·
Irianto, Agus. 2008.
·
Statistik Konsep Dasar dan
Aplikasinya. Jakarta: Kencana.
·
Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data
Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara.
·
Riduwan. Dasar-Dasar
Statistika.2005. Bandung : Alfabeta.
·
Sudjana. 2002. Metoda Statistika
edisi ke 6. Bandung: Tarsito.
·
Tedjo N Raksonoatmodjo. 2009.
Statistika Teknik.Jakarta : Refilka Aditam
Tidak ada komentar:
Posting Komentar